考研反函数的二阶导数视频

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二阶导数

二阶导数记作

即y''=（y'）'

例如：y=x?的导数为y'=2x，二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。

原函数的导数等于反函数导数的倒数。

设y=f【x】,其反函数为x=g【y】,

可以得到微分关系式：dy=【df/dx】dx,dx=【dg/dy】dy.

那么,由导数和微分的关系我们得到,

原函数的导数是df/dx=dy/dx,

反函数的导数是dg/dy=dx/dy.

所以,可以得到df/dx=1/【dg/dx】.

扩展资料：

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f【x】的定义域为D，值域为f【D】。如果对D中任意两点x1和x2，当x1y2，则称y=f【x】在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f【D】，有x∈D使f【x】=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'x，都有y''>y。总之能使f【x】=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f【D】中的两点y1和y2，设y1

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1

因此x1

如果f在D上严格单减，证明类似。

y=x＋e∧xy'=1+e^x所以反函数导数=1/y'=1/【1+e^x】

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