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成都高中数学补习班

发布于:2022-04-17 06:50:25

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高三数学复习:求数列通项公式的常用方法

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的检验,还是压轴题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

求数列通项公式常用以下几种方法:

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。

例:在数列{}中,若1=1,+1=+2(1),求该数列的通项公式。

解:由+1=+2(1)及已知可推出数列{}为1=1,d=2的等差数列。所以=2-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。

二、已知数列的前项和,用公式

S1 (=1)

S-S-1 (2)

例:已知数列{}的前项和S=2-9,第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解:∵=S-S-1=2-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)

此类题在解时要注意考虑=1的情况。

三、已知与S的关系时,通常用转化的方法,先求出S与的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。

例:已知数列{}的前项和S满足=SS-1(2),且1=-,求数列{}的通项公式。

解:∵=SS-1(2),而=S-S-1,SS-1=S-S-1,两边同除以SS-1,得---=-1(2),而-=-=-,∴{-} 是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-= -,S= -,

再用(二)的方法:当2时,=S-S-1=-,当=1时不适合此式,所以,

- (=1)

- (2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出与+1、-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。

例:设数列{}是首项为1的正项数列,且满足(+1)+12-2++1=0,求数列{}的通项公式

解:∵(+1)+12-2++1=0,可分解为[(+1)+1-](+1+)=0

又∵{}是首项为1的正项数列,∴+1+ ≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这-1个式子,将其相乘得:∴ -=-,

又∵1=1,∴=-(2),∵=1也成立,∴=-(∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有 (或S)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出(或S)与的关系,这是近一、二年的高考热点,因此既是重点也是难点。

例:已知数列{}中,1=2,+1=(--1)(+2),=1,2,3,……

(1)求{}通项公式 (2)略

解:由+1=(--1)(+2)得到+1--= (--1)(--)

∴{--}是首项为1--,公比为--1的等比数列。

由1=2得--=(--1)-1(2--) ,于是=(--1)-1(2--)+-

又例:在数列{}中,1=2,+1=4-3+1(∈N*),证明数列{-}是等比数列。

证明:本题即证+1-(+1)=q(-) (q为非0常数)

由+1=4-3+1,可变形为+1-(+1)=4(-),又∵1-1=1,

所以数列{-}是首项为1,公比为4的等比数列。

若将此问改为求的通项公式,则仍可以通过求出{-}的通项公式,再转化到的通项公式上。

又例:设数列{}的首项1∈(0,1),=-,=2,3,4……(1)求{}通项公式。(2)略

解:由=-,=2,3,4,……,整理为1-=--(1--1),又1-1≠0,所以{1-}是首项为1-1,公比为--的等比数列,得=1-(1-1)(--)-1

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